Loading web-font TeX/Math/Italic

Thư viện tra cứu id trong tài liệu

Hướng dẫn xem lời giải theo mã id trong tài liệu

Thứ Bảy, 21 tháng 11, 2020

Toán học & tuổi trẻ số 512, tháng 02 năm 2020

Bài 1. Tìm tất cả các số tự nhiên N biết rằng tổng tất cả các ước số của N bằng 2N và tích tất cả các ước số của N bằng N^2.


Bài 2. Cho a, b, c là các số tự nhiên thỏa mãn \dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{5}=\dfrac{c}{7}. Chứng minh rằng \dfrac{2019b - 2020a}{2019c - 2020b} > 1.


Bài 3. Giải hệ phương trình \begin{cases} x^2=2z - 1\\ y^2=xz\\ z^2=2y - 1 \end{cases}


Bài 4. Cho tam giác nhọn ABC, kẻ các đường cao CH, BK (H, K lần lượt nằm trên ABAC). Trên tia CH lấy điểm P, trên tia BK lấy điểm Q sao cho góc \widehat{PAQ}=90^{\circ}. Kẻ AM vuông góc với PQ (M nằm trên PQ). Chứng minh rằng MB vuông góc với MC.


Bài 5. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab+bc+ca=8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=3(a^2+b^2+c^2)+\dfrac{27(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b+c)^3}.


Bài 6. Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x\geq z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\dfrac{xz}{y^2+yz}+\dfrac{y^2}{xz+yz}+\dfrac{x+2z}{x+z}.


Bài 7. Tìm nghiệm nguyên dương của \tan \dfrac{3\pi}{x}+4\sin \dfrac{2\pi}{x}=\sqrt{x}.


Bài 8. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi M là trung điểm cạnh BC, X là điểm chính giữa cung \overset\frown{BAC} của đường tròn (O), P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên CI, BI. Chứng minh rằng XI\perp PQ.


Bài 9. Cho tam giác ABC có diện tích S và các cạnh BC=a, CA=b, AB=c. Giải hệ phương trình (ẩn x, y, z): \left\{ \begin{array}{l}&a^2x+b^2y+c^2z=4S\\ & x y+y z+z x=1.\end{array} \right.


Bài 10. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì ta luôn có n2^{2^n}+1 là hai số nguyên tố cùng nhau.


Bài 11. Cho các dãy số (x_n), (y_n) xác định bởi \left\{ \begin{array}{l}&x_1=3, x_2=17, x_{n+2}=6x_{n+1}-x_n\\ & y_1=4, y_2=24, y_{n+2}=6y_{n+1}-y_n\end{array} \right.\,\, (n\geq 1, n\in\mathbb{N}).

Chứng minh rằng không có số hạng nào của các dãy số (x_n), (y_n) là lập phương của một số nguyên.


Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn (O). A' đối xứng với A qua O. P là hình chiếu vuông góc của A' trên đường trung trực của BC. Gọi H_a, H_b, H_c lần lượt là trực tâm của các tam giác APA', BPA', CPA'. Chứng minh rằng đường tròn \left(H_aH_bH_c\right) tiếp xúc với (O).


Bài viết cùng chủ đề:

0 nhận xét:

Đăng nhận xét