(Lương Thế Vinh Lần 3) Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ sao cho $\underset{x\in \left[ 0;10 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=f\left( 2 \right)=4$. Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{3}}+x \right)-{{x}^{2}}+2x+m$. Giá trị của tham số $m$ để $\underset{x\in \left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=8$ là A. $5$. B. $4$. C. $-1$. D. $3$.

Họ và tên thí sinh dự thi :
Học sinh trường :


Câu hỏi Câu 25.[2D1-3.1-3] (Lương Thế Vinh Lần 3) Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ sao cho $\underset{x\in \left[ 0;10 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=f\left( 2 \right)=4$. Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{3}}+x \right)-{{x}^{2}}+2x+m$. Giá trị của tham số $m$ để $\underset{x\in \left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=8$ là
A. $5$.
B. $4$.
C. $-1$.
D. $3$.

Lời giải
Tác giả: Trần Quốc Thép; Fb: Trần Quốc Thép
Chọn D
Xét hàm số $h\left( x \right)=f\left( {{x}^{3}}+x \right)$ trên $\left[ 0;2 \right]$. Đặt $t={{x}^{3}}+x,x\in \left[ 0;2 \right]$.
Ta có ${t}'=3{{x}^{2}}+1 > 0\text{ }\forall x\in \mathbb{R}$ nên $t\in \left[ 0;10 \right]$.
Vì vậy $\underset{x\in \left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( {{x}^{3}}+x \right)=\underset{t\in \left[ 0;10 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( t \right)=4$ khi $t=2\Leftrightarrow x=1$.
Mặt khác $p\left( x \right)=-{{x}^{2}}+2x+m=-{{\left( x-1 \right)}^{2}}+m+1\le m+1$. Suy ra$\underset{x\in \left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }}\,p\left( x \right)=m+1$ khi $x=1$.
Vậy $\underset{x\in \left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=4+m+1=m+5=8\Leftrightarrow m=3$.
Cách 2: Tác giả: Nguyễn Trọng Lễ; Fb: Nguyễn Trọng Lễ.
Phương pháp trắc nghiệm
Chọn hàm $y=f\left( x \right)=4$ thỏa mãn giả thiết: hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có $\underset{x\in \left[ 0;10 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=f\left( 2 \right)=4$.
Ta có $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{3}}+x \right)-{{x}^{2}}+2x+m=4-{{x}^{2}}+2x+m$.
${g}'\left( x \right)=-2x+2$; ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=1$.
Xét hàm số $g\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ 0;2 \right]$, ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=1$. Ta có $g\left( 0 \right)=4+m$, $g\left( 1 \right)=5+m$, $g\left( 2 \right)=4+m$.
Rõ ràng $g\left( 0 \right)=g\left( 2 \right) < g\left( 1 \right)$ nên $\underset{x\in \left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=g\left( 1 \right)$. Vậy $5+m=8\Leftrightarrow m=3$.

Bạn chọn thời gian

CÁC THÍ SINH ĐÃ THAM GIA