Bài toán 27.[IMC 2018, Day 2, Problem 7] Cho $(a_n)^{+\infty}$ là một dãy các số thực với $a_0=0$ và $a_{n+1}^3=a_n^2-8$. Chứng minh rằng dãy số sau hội tụ: $$\sum^{\infty}_{n=0} \vert a_{n+1}-a_n\vert.$$ $$\text{(Đề xuất bởi Orif Ibrogimov, Đại học Quốc gia Uzbekistan)}$$

[ Định lý Hall] Cho đồ thị bipartile gồm hai tập độc lập phân biệt $X$, $Y$. Với mỗi tập con $A$ thuộc $X$, gọi $G(A)$ là tập các đỉnh thuộc $Y$ kể với mỗi đỉnh nào đó thuộc $A$. Khi đó, điều kiện cần và đủ để tồn tại một đơn ánh $f: X\rightarrow Y$ sao cho $x$ kề $f(x)$ là $$\vert G(A) \vert \geq \vert A \vert \forall A \neq \varnothing, A\subset X.$$

Bài toán 27.[IMC 2018, Day 2, Problem 7] Cho $(a_n)^{+\infty}$ là một dãy các số thực với $a_0=0$ và $a_{n+1}^3=a_n^2-8$. Chứng minh rằng dãy số sau hội tụ: $$\sum^{\infty}_{n=0} \vert a_{n+1}-a_n\vert.$$ $$\text{(Đề xuất bởi Orif Ibrogimov, Đại học Quốc gia Uzbekistan)}$$

Lời giải

Chúng ta sẽ dự đoán tỉ số giữa các số hạng $\vert a_{n+2}-a_{n+1}\vert$ và $\vert a_{n+1}-a_n \vert$.
Trước đó, chúng ta giới hạn số hạng $a_n$ bằng cách chứng minh rằng: $$-2\leq a_n\leq -\sqrt[3]{4}, \forall n \geq 1.$$ Chặn dưới có thể được suy ra thẳng từ quy luật của dãy số: $$a_n=\sqrt[3]{a_{n-1}^2-8}\geq \sqrt[3]{-8}=-2.$$ Chúng ta cũng có thể chứng minh chặn trên bằng cách sử dụng quy nạp: Chúng ta có $a_1=-2 < \sqrt[3]{4}$, và bất cứ khi nào $-2\leq a_n < 0$, chúng ta đều có $$a_{n+1}=\sqrt[3]{a_n^2-8}\leq \sqrt[3]{2^2-8}=-\sqrt[3]{4}.$$ Bây giờ, chúng ta sẽ so sánh $\vert a_{n+2}-a_{n+1}\vert$ và $\vert a_{n+1}-a_n \vert$. Bằng cách áp dụng những hằng đẳng thức như $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2),\, x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ và quy luật của dãy số, chúng ta có: $$\begin{eqnarray*} (a_{n+2}^2+a_{n+2}a_{n+1}+a_{n+1}^2) \vert a_{n+2}-a_{n+1}\vert&=&\vert a_{n+2}^3-a_{n+1}^3 \vert\\ &=&\vert (a_{n+1}^2-8)-(a_n^2-8)\vert\\ &=&\vert a_{n+1}+a_n\vert \cdot \vert a_{n+1}-a_n\vert. \end{eqnarray*}$$ }Ở vế trái, chúng ta có: $$a_{n+2}^2+a_{n+2}a_{n+1}+a_{n+1}^2\geq 3\cdot 4^{\tfrac{2}{3}};$$ và ở vế phải: $$\vert a_{n+1}+a_n\vert \leq 4.$$ Chính vì vậy, $$\vert a_{n+1}-a_n\vert \leq \dfrac{4}{3\times 4^{\tfrac{2}{3}}}\vert a_{n+1}-a_n\vert=\dfrac{\sqrt[3]{4}}{3}\vert a_{n+1}-a_n\vert.$$ Bằng quy nạp, chúng ta hiển nhiên có: $$\vert a_{n+1}-a_n\vert < \left(\dfrac{\sqrt[3]{4}}{3}\right)^{n-1}\vert a_{n+1}-a_n\vert.$$ Đến đây, chúng ta có thể kết luận được rằng $\sum^{\infty}_{n=0}$ có thể được làm trội bởi một dãu cấp số nhân với công bội $\dfrac{\sqrt[3]{4}}{3} < 1$, điều này chứng minh rằng dãy này hội tụ.Lời giải của tác giả. Đầu tiên, thông qua phương pháp tương tự ở Lời giải chính thức, chúng ta suy ra được $$-2\leq a_n\leq -\sqrt[3]{4},\forall n\geq 1.$$ Chúng ta xét hàm số sau đây$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},f(x)=\sqrt[3]{x^2-8}$. Dễ dàng nhận thấy, đây chính là hàm số đặc trưng của dãy số $(a_n)^{\infty}$ trong đề bài. Đạo hàm của hàm số này sẽ là $$f'(x)=\dfrac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2-8)^2}}.$$ Tiếp theo, chúng ta thừa nhận không chứng minh định lý sau: [Mean Value Theorem] Cho $a$ và $b$ là hai số thự sao cho $a < b$. Biết rằng hàm số $f:[a;b]\rightarrow \mathbb{R}$ là một hàm liên tục. Giả sử rằng $f$ có đạo hàm trên đoạn $[a;b]$. Khi đó, tồn tại một số thực $c\in(a;b)$ sao cho: $$\dfrac{f(b)-f(a) }{b-a}=f'(c)$$ Định lý này có thể dễ dàng chứng minh bằng cách xét hàm số $h(x)=f(x)-\left(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\right)x$. Sử dụng định lý này với $x$, $y$ bất kỳ thuộc khoảng $[-2;0)$, tồn tại một số thực $c\in(x;y)$ sao cho: $$f'(c)=\dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}=\dfrac{2c}{3\sqrt[3](x^2-8)^2}=\dfrac{2}{3\left(\sqrt[3]{\dfrac{1}{c}-\dfrac{8}{c^3}}\right)^2}.$$ Do $f'(c) > 0,\forall c\in(-2;0)$, chúng ta có thể kết luận rằng, với mọi $x,y\in [-2;0), x < y$, luôn tồn tại một số thực $c$ sao cho: $$f'(c)=\left \vert \dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}\right \vert =\dfrac{2}{3\left(\sqrt[3]{\dfrac{1}{c}-\dfrac{8}{c^3}}\right)^2}.$$ Bây giờ, chúng ta sẽ xét hàm số $g(x)=1-8x^3$ để dự đoán giá trị của $f'(c)$. Đạo hàm của hàm số này sẽ là $g'(x)=-24x^2 \leq 0, \forall x\in \mathbb{R}$, tức là hàm số $g(x)$ sẽ lớn nhất khi $x$ đạt giá trị nhỏ nhất. Trong trường hợp này, vì $c\in (-2;0)$, chúng ta có $\dfrac{1}{c}\geq -\dfrac{1}{2}$, hay $\dfrac{1}{c}-\dfrac{8}{c^3}$ đạt giá trị cực đại tại $\dfrac{1}{c}=-\dfrac{1}{2}$, hay $c=-2$. Khi đó, $$f'(c)\leq \dfrac{2}{3\left(\sqrt[3]{-\dfrac{1}{2}-\dfrac{8}{(-2)^3}}\right)^2} < 1.$$ Thay $a_{n+1}$ và $a_n$ vào $x$ và $y$ tùy ý, chúng ta có: $$\vert a_{n+2}-a_{n+1}\vert=f'(c)\vert a_{n+1}-a_n\vert < \vert a_{n+1}-a_n\vert \,\,( f'(c) < 1, \forall c\in[-2;0)).$$ Đến đây, chúng ta đã có thể kết luận dãy $\sum^{\infty}_{n=0}\vert a_{n+1}-a_n\vert$ hội tụ.