Toán học & tuổi trẻ số 509, tháng 11 năm 2019 Bài toán 8.[$pi$ in sky, issue $20$, $2017$] Tìm hai chữ số tận cùng của số $$2^{2016} + 2^{2017}.$$

Toán học & tuổi trẻ số 509, tháng 11 năm 2019

Bài toán 8.[$pi$ in sky, issue $20$, $2017$] Tìm hai chữ số tận cùng của số $$2^{2016} + 2^{2017}.$$

Lời giải

Cách 1. Ta viết số đã cho dưới dạng: $$2^{2016} + 2^{2017} = 2^{2016}(1+2) = 3 \cdot 2^{2016} = 3\cdot 2^{16}\cdot 2^{2000} = 3\cdot 2^{16}(2^{20})^{100}.$$ Hai chữ số cuối của số $2^{16} = 2^8 \cdot 2^8$ là $36$. Hai chữ số cuối của $2^{20}= (1024)^2$ là $76$. Nếu một số có hai chữ số tận cùng là $76$ thì lũy thừa với số mũ nguyên dương tùy ý của số đó cũng có hai chữ số tận cùng là $76$. Vậy hai chữ số tận cùng của số $(2^{20})^{100}$ là $76$. Từ hai chữ số tận cùng của số $3 \cdot 2^{16}$ là $08$ và hai chữ số tận cùng của $(2^{20})^{100}$ là $76$ suy ra hai chữ số tận cùng của số $2^{2016} + 2^{2017}$ là $08$.
Cách 2. Ta có $$2^{10} = 1024 \equiv (-1) \pmod{25} \Rightarrow (2^{10})^{201} \equiv (-1)^{201} \pmod{25} \equiv -1 \pmod{25} \tag{1}$$ Lại có $$2^4 = 16 \equiv -9 \pmod{25} \tag{2}$$ Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $$\begin{align*} 2^{2014} &\,=\,9 \pmod{25}\\ \Rightarrow 2^{2016}&\, =\, 2^2 \cdot 2^{2014} = 2^2\cdot(25k + 9) = 100k + 36 (k\in \mathbb{N})\\ \Rightarrow 2^{2016}&\, \equiv\, 36 \pmod{100} \tag{3}\\ \Rightarrow 2^{2017}&\, =\, 2\cdot 2^{2016} \equiv 72 \pmod{100} \tag{4}. \end{align*}$$ Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra $$2^{2016} + 2^{2017} \equiv 36 + 72 \pmod{100} \equiv 08 \pmod{100}.$$ Vậy hai chữ số tận cùng của số $2^{2016} + 2^{2017}$ là $08$.