Bài toán 8.[pi in sky, issue 20, 2017] Tìm hai chữ số tận cùng của số 2^{2016} + 2^{2017}. |
Lời giải
Cách 1. Ta viết số đã cho dưới dạng: 2^{2016} + 2^{2017} = 2^{2016}(1+2) = 3 \cdot 2^{2016} = 3\cdot 2^{16}\cdot 2^{2000} = 3\cdot 2^{16}(2^{20})^{100}.
Hai chữ số cuối của số 2^{16} = 2^8 \cdot 2^8 là 36. Hai chữ số cuối của 2^{20}= (1024)^2 là 76. Nếu một số có hai chữ số tận cùng là 76 thì lũy thừa với số mũ nguyên dương tùy ý của số đó cũng có hai chữ số tận cùng là 76. Vậy hai chữ số tận cùng của số (2^{20})^{100} là 76.
Từ hai chữ số tận cùng của số 3 \cdot 2^{16} là 08 và hai chữ số tận cùng của (2^{20})^{100} là 76 suy ra hai chữ số tận cùng của số 2^{2016} + 2^{2017} là 08.
Cách 2. Ta có 2^{10} = 1024 \equiv (-1) \pmod{25} \Rightarrow (2^{10})^{201} \equiv (-1)^{201} \pmod{25} \equiv -1 \pmod{25} \tag{1}
Lại có 2^4 = 16 \equiv -9 \pmod{25} \tag{2}
Từ (1) và (2) suy ra
\begin{align*}
2^{2014} &\,=\,9 \pmod{25}\\
\Rightarrow 2^{2016}&\, =\, 2^2 \cdot 2^{2014} = 2^2\cdot(25k + 9) = 100k + 36 (k\in \mathbb{N})\\
\Rightarrow 2^{2016}&\, \equiv\, 36 \pmod{100} \tag{3}\\
\Rightarrow 2^{2017}&\, =\, 2\cdot 2^{2016} \equiv 72 \pmod{100} \tag{4}.
\end{align*}
Từ (3) và (4) suy ra
2^{2016} + 2^{2017} \equiv 36 + 72 \pmod{100} \equiv 08 \pmod{100}.
Vậy hai chữ số tận cùng của số 2^{2016} + 2^{2017} là 08.
0 nhận xét:
Đăng nhận xét