Toán học & tuổi trẻ số 510, tháng 12 năm 2019 Bài toán 7.[APMO 2005] Cho các số thực dương $a$, $b$, $c$ thỏa mãn $abc=8$. Chứng minh rằng $$A=\dfrac{a^2}{\sqrt{\left( 1+a^3\right)\left( 1+b^3\right) }}+\dfrac{b^2}{\sqrt{\left( 1+b^3\right)\left( 1+c^3\right) }}+\dfrac{c^2}{\sqrt{\left( 1+c^3\right)\left( 1+a^3\right) }}\ge \dfrac{4}{3}.$$

Toán học & tuổi trẻ số 510, tháng 12 năm 2019

Bài toán 7.[APMO 2005] Cho các số thực dương $a$, $b$, $c$ thỏa mãn $abc=8$. Chứng minh rằng $$A=\dfrac{a^2}{\sqrt{\left( 1+a^3\right)\left( 1+b^3\right) }}+\dfrac{b^2}{\sqrt{\left( 1+b^3\right)\left( 1+c^3\right) }}+\dfrac{c^2}{\sqrt{\left( 1+c^3\right)\left( 1+a^3\right) }}\ge \dfrac{4}{3}.$$

Lời giải

Với mọi $x > 0$, ta luôn có $$x^2-x+1 > 0.$$ Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có $$\begin{align*} \sqrt{1+x^3}&=\sqrt{(1+x)\left(1-x+x^2\right)}\\ &\leq\dfrac{(1+x)+\left(1-x+x^2\right)}{2}=\dfrac{2+x^2}{2}\tag{1}\end{align*}$$ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $x=2$. Áp dụng (1) ta thu được $$\begin{align*} \dfrac{a^2}{\sqrt{\left( 1+a^3\right)\left( 1+b^3\right) }}&\ge\dfrac{4a^2}{\left(2+b^2\right)\left(2+a^2\right)}\tag{2}\\ \dfrac{b^2}{\sqrt{\left( 1+b^3\right)\left( 1+c^3\right) }}&\ge\dfrac{4b^2}{\left(2+b^2\right)\left(2+c^2\right)}\tag{3}\\ \dfrac{c^2}{\sqrt{\left( 1+a^3\right)\left( 1+c^3\right) }}&\ge\dfrac{4c^2}{\left(2+c^2\right)\left(2+a^2\right)}\tag{4} \end{align*}$$ Cộng vế với vế của (2), (3), (4), ta nhận được $$A\ge \dfrac{4a^2}{\left(2+b^2\right)\left(2+a^2\right)}+\dfrac{4b^2}{\left(2+b^2\right)\left(2+c^2\right)}+\dfrac{4a^2}{\left(2+c^2\right)\left(2+a^2\right)}.$$ Đến đây, bài toán sẽ được chứng minh nếu chứng minh được $$\begin{align*} &\dfrac{a^2}{\left(2+b^2\right)\left(2+a^2\right)}+\dfrac{b^2}{\left(2+b^2\right)\left(2+c^2\right)}+\dfrac{c^2}{\left(2+c^2\right)\left(2+a^2\right)}\ge \dfrac{1}{3}\\ \Leftrightarrow& 3\left[a^2\left(2+c^2\right)+b^2\left(2+a^2\right)+c^2\left(2+a^2\right)\right]\ge \left(2+a^2\right)\left(2+b^2\right)\left(2+c^2\right)\\ \Leftrightarrow& 6\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\\&\quad \ge 8+4\left(a^2+b^2+c^2\right)+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+a^2b^2c^2\\ \Leftrightarrow& \left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge 72.\tag{5} \end{align*}$$ Bất đẳng thức (5) đúng vì theo bất đẳng thức Cauchy thì $$\begin{eqnarray*} \left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\ge 3\sqrt[3]{a^4b^4c^4}&=&64;\\ 2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge 2\cdot 3\cdot \sqrt[3]{a^2b^2c^2}&=&24. \end{eqnarray*}$$ Do đó $$\dfrac{a^2}{\left(2+b^2\right)\left(2+a^2\right)}+\dfrac{b^2}{\left(2+b^2\right)\left(2+c^2\right)}+\dfrac{c^2}{\left(2+c^2\right)\left(2+a^2\right)}\ge \dfrac{1}{3}.$$ Vậy $$\dfrac{a^2}{\sqrt{\left( 1+a^3\right)\left( 1+b^3\right) }}+\dfrac{b^2}{\sqrt{\left( 1+b^3\right)\left( 1+c^3\right) }}+\dfrac{c^2}{\sqrt{\left( 1+c^3\right)\left( 1+a^3\right) }}\ge \dfrac{4}{3}.$$