Bài toán 6.[Mathematical Excalibur, Vol. 10. No 3] Với mọi số nguyên $n\ge 6$, chứng minh rằng $$\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n-1}{\dfrac{n}{n-k}\cdot \dfrac{1}{2^{k-1}}}\le \dfrac{16}{5}.$$

Toán học \& tuổi trẻ số 512, tháng 2 năm 2020

Bài toán 6.[Mathematical Excalibur, Vol. 10. No 3] Với mọi số nguyên $n\ge 6$, chứng minh rằng $$\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n-1}{\dfrac{n}{n-k}\cdot \dfrac{1}{2^{k-1}}}\le \dfrac{16}{5}.$$

Lời giải

Xét bất đẳng thức $\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n-1}{\dfrac{n}{n-k}\cdot \dfrac{1}{2^{k-1}}}\le \dfrac{16}{5}$.\hfill$(1)$
Ta chứng minh (1) bằng phương pháp quy nạp. Với mỗi $n=6,7,\ldots$, đặt $a_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n-1}{\dfrac{n}{n-k}\cdot \dfrac{1}{2^{k-1}}}$.
Với $n=6$, ta có $$a_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{5}{\dfrac{6}{6-k}\cdot \dfrac{1}{2^{k-1}}}= \dfrac{16}{5}.$$ Giả sử (1) đúng với $n\ge 6$ nào đó, tức là $a_n\le \dfrac{16}{5}$. Ta có $$\begin{eqnarray*} a_{n+1}&=&\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}{\dfrac{n+1}{n+1-k}\cdot \dfrac{1}{2^{k-1}}}=\displaystyle\sum\limits_{j=0}^{n-1}{\dfrac{n+1}{n-j}\cdot \dfrac{1}{2^{j}}}\\ &=&\dfrac{n+1}{n}+\dfrac{n+1}{2n}\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{n-1}{\dfrac{n}{n-j}\cdot \dfrac{1}{2^{j-1}}}=\dfrac{n+1}{n}\left(1+\dfrac{a_n}{2}\right)\le \dfrac{7}{6}\left(1+\dfrac{8}{5}\right) < \dfrac{16}{5}. \end{eqnarray*}$$ Vậy (1) đúng với $n+1$. Theo nguyên lý quy nạp, bất đẳng thức (1) đúng với mọi $n\ge 6$. Vậy (1) được chứng minh với mọi $n\ge 6$.