Bài 32 - THTT 503 Bài toán 12.[Memo 2017] Xác định giá trị nhỏ nhất có thể của biểu thức $A=\left|2^m-181^n\right|$, với $m$ và $n$ là các số nguyên dương.

%%%%%%%%%%%%%%%%%Bài 32 - THTT 503

Bài toán 1.[Memo 2017] Xác định giá trị nhỏ nhất có thể của biểu thức $A=\left|2^m-181^n\right|$, với $m$ và $n$ là các số nguyên dương.

Lời giải

Ta có $181^2=32761$ và $2^{15}=32768$. Lấy hiệu của hai số, ta có $2^{15}-181^2=7$.
Ta thấy hiệu $2^m-181^n$ là số lẻ. Do đó, $A$ phải là số lẻ dương. Ta sẽ chứng minh giá trị nhỏ nhất của $A$ là $7$, và để làm điều đó ta chỉ cần chứng tỏ $A$ không thể nhận các giá trị $1$, $3$ và $5$.
Đầu tiên, ta xét đồng dư modulo $15$ của $2^m$ và $181^n$. Ta có $$\begin{eqnarray*} & &2^m \equiv 1, 2, 4, 8 \left(\bmod 15 \right) \text{ và } 181^n \equiv 1 \left(\bmod 15 \right),\\ &\Rightarrow &2^m-181^n \equiv 0, 1, 3, 7 \left(\bmod 15 \right),\\ &\Rightarrow &A=\left|2^m-181^n\right| \equiv 0, 1, 3, 7, 8, 12, 14 \left(\bmod 15 \right). \end{eqnarray*}$$ Do đó, $A$ không thể nhận giá trị bằng $5$.
Rõ ràng $m \ge 4$ là cần thiết để $A$ nhỏ hơn $7$. Bây giờ, ta xét các phương trình sau

1. $2^m-181^n=-1 \Rightarrow 2^m =181^n-1 \equiv 0 \left(\bmod 3 \right)$: điều này là không thể.
2. $2^m-181^n=1 \Rightarrow 2^m =181^n+1 \equiv 2 \left(\bmod 4 \right)$: điều này là không thể với $m\ge 2$.
3. $2^m-181^n=-3 \Rightarrow 2^m =181^n-3 \equiv 2 \left(\bmod 4 \right)$: điều này cũng là không thể với $m\ge 2$.

Do đó, ta còn phương trình cuối cùng cần xét là $2^m-181^n=3 \Leftrightarrow 2^m=181^n+3$. $(*)$
Do $2^m \equiv 1, 2, 4, 8 \left(\bmod 15 \right)$ và $181^n+3 \equiv 4 \left(\bmod 15 \right)$ nên $2^m \equiv 4 \left(\bmod 15 \right)$.
Do đó $m\equiv 2 \left(\bmod 4 \right)$ hay $m=4k+2$, $k\in \mathbb{N}$.
Bây giờ, ta xét phương trình $(*)$ với modulo $13$. Ta có $$\begin{eqnarray*} & & 2^m=181^n+3\\ & \Rightarrow &2^{4k+2} \equiv (-1)^n+3 \left(\bmod 13 \right)\\ &\Leftrightarrow &4 \times 16^k \equiv (-1)^n+3 \left(\bmod 13 \right)\\ &\Leftrightarrow &4 \times 3^k \equiv (-1)^n+3 \left(\bmod 13 \right). \end{eqnarray*}$$ Ta có $(-1)^n+3 \equiv 2, 4 \left(\bmod 13 \right)$ và $4 \times 3^k \equiv 4, 12, 10 \left(\bmod 13 \right)$. Do đó $(-1)^n+3 \equiv 4 \left(\bmod 13 \right)$, suy ra $n$ phải chẵn hay $n=2q$, $q\in \mathbb{N}^*$. Từ đó $$A =\left|2^m-181^n\right|=\left|2^{4k+2}-181^{2q}\right| =\left|\left(2^{2k+1}-181^q\right)\left(2^{2k+1}+181^q\right)\right| \ge 183.$$ Vậy $\displaystyle \min\limits_{m,n \in \mathbb{N}^*}\left|2^m-181^n\right|=7$ khi $m=15$ và $n=2$.