Bài 31 - THTT 502 Bài toán 11.[Crux 2018] Tìm giới hạn $$P=\lim\limits_{n \to +\infty}\left\{\left(6+\sqrt{35} \right)^n\right\},$$ trong đó, $\{x\}=x-[x]$, với $[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$.

Bài 31 - THTT 502

Bài toán 11.[Crux 2018] Tìm giới hạn $$P=\lim\limits_{n \to +\infty}\left\{\left(6+\sqrt{35} \right)^n\right\},$$ trong đó, $\{x\}=x-[x]$, với $[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$.

Lời giải

Ta sẽ chứng minh $$\left(6+\sqrt{35} \right)^n + \left(6-\sqrt{35} \right)^n \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{N}. \tag{*}$$ Thật vậy, dễ thấy $n=0$, ta có $(*)$ đúng. Với $n=1$, ta có $$\left(6+\sqrt{35} \right)^n + \left(6-\sqrt{35} \right)^n=\left(6+\sqrt{35} \right) + \left(6-\sqrt{35} \right)=12 \in \mathbb{N}.$$ Giả sử $(*)$ đúng đến $n=k$, (với $k \in \mathbb{N}^*$), và dĩ nhiên $(*)$ cũng đúng khi $n=k-1$. Tức là $$\left(6+\sqrt{35} \right)^k + \left(6-\sqrt{35} \right)^k \in \mathbb{N} \text{ và } \left(6+\sqrt{35} \right)^{k-1} + \left(6-\sqrt{35} \right)^{k-1} \in \mathbb{N}.$$ Ta sẽ chứng minh $(*)$ đúng đến $n=k+1$. Thật vậy, ta có $$\begin{align*} \left(6+\sqrt{35} \right)^{k+1} + \left(6-\sqrt{35} \right)^{k+1}=&\left( \left(6+\sqrt{35} \right) + \left(6-\sqrt{35} \right) \right)\left(\left(6+\sqrt{35} \right)^k + \left(6-\sqrt{35} \right)^k \right)\\ &- \left(6+\sqrt{35} \right)\left(6-\sqrt{35} \right)\left( \left(6+\sqrt{35} \right)^{k-1} + \left(6-\sqrt{35} \right)^{k-1}\right)\\ =&12\left(\left(6+\sqrt{35} \right)^k + \left(6-\sqrt{35} \right)^k \right)\\ &-\left( \left(6+\sqrt{35} \right)^{k-1} + \left(6-\sqrt{35} \right)^{k-1}\right) \in \mathbb{N}. \end{align*}$$ Do đó, ta có $\left(6+\sqrt{35} \right)^n + \left(6-\sqrt{35} \right)^n \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{N}$.
Mặt khác, với mọi $n\in \mathbb{N}^*$, do $0 < 6-\sqrt{35} < 1$ nên $$0 < \left(6-\sqrt{35} \right)^n < 1 \text{ hay } 0 < 1-\left(6-\sqrt{35} \right)^n < 1.$$ Dễ thấy rằng nếu $x \in \mathbb{N}$ và $0 < y < 1$ thì $[x+y]=x$.
Áp dụng với $x= \left(6+\sqrt{35} \right)^n + \left(6-\sqrt{35} \right)^n$ và $y=1-\left(6-\sqrt{35} \right)^n$, ta có { $$\begin{align*} \left[\left(6+\sqrt{35} \right)^n\right]&=\left[\left(\left(6+\sqrt{35} \right)^n+\left(6-\sqrt{35} \right)^n-1 \right)+\left(1-\left(6-\sqrt{35} \right)^n \right)\right]\\ &=\left(6+\sqrt{35} \right)^n+\left(6-\sqrt{35} \right)^n-1. \end{align*}$$ } Do đó, ta có $$\begin{align*} \left\{\left(6+\sqrt{35} \right)^n\right\}&=\left(6+\sqrt{35} \right)^n-\left[\left(6+\sqrt{35} \right)^n\right]\\ &=\left(6+\sqrt{35} \right)^n-\left( \left(6+\sqrt{35} \right)^n+\left(6-\sqrt{35} \right)^n-1 \right)\\ &=1-\left(6-\sqrt{35} \right)^n. \end{align*}$$ Suy ra $$P=\lim\limits_{n \to +\infty}\left\{\left(6+\sqrt{35} \right)^n\right\}= \lim\limits_{n \to +\infty}\left( 1-\left(6-\sqrt{35} \right)^n \right)=1-\lim\limits_{n \to +\infty}\left(6-\sqrt{35} \right)^n.$$ Do $0 < 6-\sqrt{35} < 1$ nên $\lim\limits_{n \to +\infty}\left(6-\sqrt{35} \right)^n=0$.
Vậy, ta có $P=1-\lim\limits_{n \to +\infty}\left(6-\sqrt{35} \right)^n=1-0=1$. Ta có thể chứng minh $(*)$ bằng cách đặt $$S_n=\left(6+\sqrt{35} \right)^n + \left(6-\sqrt{35} \right)^n, \forall n \in \mathbb{N}.$$ Dễ thấy rằng $S_0=2$, $S_1=12$ và ta có hệ thức truy hồi $$S_n=12S_{n-1}-S_{n-2}, \forall n \in \mathbb{N}, n\ge 2.$$ Từ đó, ta suy ra $S_n \in \mathbb{N}$, $\forall n\in \mathbb{N}$.