Toán học & tuổi trẻ số 506, tháng 8 năm 2019 Bài toán 10.[IMO 2012.] Cho $a_2, a_3, \ldots, a_n$ là $n-1$ số thực dương thỏa mãn $a_2a_3\cdots a_n = 1$. Chứng minh rằng $(1+a_2)^2(1+a_3)^2\cdots (1+a_n)^n > n^n$.

Toán học & tuổi trẻ số 506, tháng 8 năm 2019

Bài toán 10.[IMO 2012.] Cho $a_2, a_3, \ldots, a_n$ là $n-1$ số thực dương thỏa mãn $a_2a_3\cdots a_n = 1$. Chứng minh rằng $(1+a_2)^2(1+a_3)^2\cdots (1+a_n)^n > n^n$.

Lời giải

Từ bất đẳng thức Cauchy cho $2$ số, $3$ số, $4$ số, \ldots, $n$ số thực dương ta có: $$\begin{align*} &1 + a_2 \ge 2\sqrt{1\cdot a_2}=2 \sqrt{a_2} \Rightarrow (1+a_2)^2 \ge \left(2\sqrt{a_2}\right)^2 = 2^2 \cdot a_2\\ &1 + a_3 = \dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{2} + a_3\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot a_3}\Rightarrow (1+a_3)^3 \ge 3^3 \cdot \dfrac{1}{2^2} \cdot a_3\\ &1 + a_4 = \dfrac{1}{3} +\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3}+ a_4\ge4\sqrt[4]{\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{3}\cdot a_4}\Rightarrow (1+a_4)^4 \ge 4^4 \cdot \dfrac{1}{3^3} \cdot a_4\\ &\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\ &1+a_{n}=\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n-1}+\cdots+\frac{1}{n-1}+a_{n} \ge n\cdot \sqrt[n]{\dfrac{1}{n-1}\cdot \dfrac{1}{n-1} \cdots \dfrac{1}{n-1}\cdot a_n}.\tag{*} \end{align*}$$ Suy ra $(1+a_n)^n \ge n^n \cdot \dfrac{1}{(n-1)^{n-1}}\cdot a_n$ . ((*) có $n-1$ số hạng $\dfrac{1}{n-1}$ và $n-1$ thừa số $\dfrac{1}{n-1}$). Nhân theo vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được $$\begin{align*} &(1+a_2)^2(1+a_3)^3(1+a_4)^4\cdots(1+a_n)^n \geq 2^2\cdot a_2 \cdot 3^3 \cdot \dfrac{1}{2^2}\cdot a_3 \cdot 4^4 \cdot \dfrac{1}{3^3} \cdot a^4 \cdots n^n \cdot \dfrac{1}{(n-1)^{n-1}}\cdot a_n\\ &\Leftrightarrow \, (1+a_2)^2(1+a_3)^3 \cdots (1+a_n)^n \geq\, \dfrac{2^2\cdot 3^3 \cdot 4^4 \cdots n^n}{2^2 \cdot 3^3 \cdots (n-1)^{n-1}}\cdot a_2a_3\cdots a_n = n^n\cdot 1 = n^n.\\ &\Rightarrow \, (1+a_2)^2(1+a_3)^3\cdots (1+a_n)^n \geq n^n \tag{1} \end{align*}$$ Dấu = xảy ra khi $$\begin{eqnarray*} &&\left\{ \begin{array}{l}&a_2 = 1, a_3 = \dfrac{1}{2}, a_4 = \dfrac{1}{3},\ldots,a_n = \dfrac{1}{n-1}\\&a_2a_3\cdots a_n =1\end{array} \right.\\ &\Rightarrow&\left\{ \begin{array}{l}&a_2a_3a_4\cdots a_n = 1\cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} \cdots \dfrac{1}{n-1}\\&a_2a_3\cdots a_n = 1\end{array} \right.\\ &\Rightarrow& \dfrac{1}{2\cdot 3 \cdots (n-1) }=1 \;\text{(vô lý).} \end{eqnarray*}$$ Do đó dấu = của bất đẳng thức $(1)$ không xảy ra. Từ $(1)$ suy ra: $$(1+a_2)^2(1+a_3)^3\cdots (1+a_n)^n > n^n$$ và ta có điều phải chứng minh.