Bài toán 1.[$\pi$ in the sky, issue 15, 2011] Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ với hệ số thực sao cho $$\sin P(x)=P(\sin x),\, x \in \mathbb{R}.$$

Bài toán 1.[$\pi$ in the sky, issue 15, 2011] Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ với hệ số thực sao cho $$\sin P(x)=P(\sin x),\, x \in \mathbb{R}.$$

Lời giải

Trước hết ta chú ý rằng $P(x)=0$ và $P(x)=\pm x$ là các nghiệm của bài toán. Ta sẽ chứng minh ngoài các nghiệm đó bài toán không còn nghiệm nào khác.

• Nếu $P(x)=ax+b,\, (a\neq 0)$ là một nghiệm của bài toán thì $$\sin (ax+b)=a\sin x+b,\,x \in \mathbb{R}.$$
• Nếu ta lấy $x=0,\,x=\pi$ và sau đó $x=\dfrac{\pi}{2}$ thì ta suy ra $a=\pm 1,\,b=0$, do đó có hai nghiệm trong các nghiệm kể trên.

Giả sử rằng đa thức $P(x)$ là đa thức có bậc nhỏ nhất là $2$ và có nghiệm. Ta sẽ đưa ra hai lập luận chứng tỏ giả sử này là không thể xảy ra.

1. Lập luận đầu tiên là: Do $P(x)$ là đa thức nên nó chỉ có hữu hạn nghiệm trong khoảng $[-1;1]$, giả sử có $n$ nghiệm trong khoảng này (khoảng đóng). Khi đó trong khoảng tùy ý $[s;s+1]$, $P(\sin x)$ có nhiều nhất $2n$ nghiệm vì trên khoảng có độ dài $1$, $\sin x$ có thể lấy mỗi giá trị nhiều nhất hai lần.
   Mặt khác, $P(x)$ có bậc nhỏ nhất là $2$ nên ta có $\left |P'(x) \right |\to \infty$ khi $x\to \pm \infty$ (đạo hàm $P'(x)$ có bậc nhỏ nhất là $1$). Đặc biệt, có một khoảng $[s;s+1]$ thỏa $$\left | P'(x) \right |>(2n+1)\pi, \forall x\in [s;s+1].$$ Theo định lí giá trị trung bình, $\left | P(s+1)-P(s) \right |>(2n+1)\pi.$ Vì vậy, khoảng giữa $P(s)$ và $P(s+1)$ chứa ít nhất $2n+1$ bội của $\pi$.
   Theo định lí giá trị trung gian, $P(x)$ lấy ít nhất $2n+1$ giá trị là bội của $\pi$ trên khoảng $[s;s+1]$, điều này khẳng định rằng $\sin P(x)$ có ít nhất $2n+1$ nghiệm trên khoảng này.
   Từ $P(\sin x)$ và $\sin P(x)$ có số nghiệm khác nhau trên khoảng $[s;s+1]$, chúng không thể bằng nhau.
2. Lập luận thứ hai như sau (Vẫn giả sử $P(x)$ là đa thức có bậc nhỏ nhất là $2$). Ta phải có: $$\sin (P(x+2\pi))=P(\sin (x+2\pi))=P(\sin x)=\sin P(x),\,\forall x\in \mathbb{R}.$$ Vì vậy với mọi $x$, ta có thể tìm số nguyên $k(x)$ hoặc $h(x)$ sao cho $$P(x+2\pi)-P(x)=2k(x)\pi$$ hoặc $$P(x+2\pi)+P(x)=(2h(x)+1)\pi.$$ Với mỗi cặp số nguyên $(k,\,h)$ ta xác định các tập hợp các số thực sau: $$A_{(k;\,h)}=\left \{ x\in \mathbb{R} : P(x+2\pi) -P(x)=2k(x)\pi \,\mbox{hoặc}\, P(x+2\pi)+P(x)=(2h(x)+1)\pi\right\}.$$ Từ $\mathbb{R}=\bigcup\limits_{(k;\,h)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}}A_{(k;\,h)}$, ta kết luận rằng có ít nhất một tập hợp $A_{(k;\,h)}$ là vô hạn, vì nếu trái lại $\bigcup\limits_{(k;\,h)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}}A_{(k;\,h)}$ là tập đếm được trong khi tập hợp các số thực $\mathbb{R}$ là không đếm được.
   Nếu $A_{(k;\,h)}$ có vô hạn phần tử thì ít nhất một trong hai phương trình $$P(x+2\pi)-P(x)=2k(x)\pi$$ hoặc $$P(x+2\pi)+P(x)=(2h(x)+1)\pi$$ có vô hạn nghiệm. Điều này không thể vì hoặc đa thức $P(x+2\pi)-P(x)$ hoặc đa thức $P(x+2\pi)+P(x)$ là đa thức hằng.