Bài toán 2.[$\pi$ in the sky, issue 20, 2017] Cho $x,\,y,\,z$ là các số thực thỏa mãn $3x+y+2z\ge 3$ và $-x+2y+4z\ge 5$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $7x+5y+10z.$

Bài toán 2.[$\pi$ in the sky, issue 20, 2017] Cho $x,\,y,\,z$ là các số thực thỏa mãn $3x+y+2z\ge 3$ và $-x+2y+4z\ge 5$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $7x+5y+10z.$

Lời giải

Với $A,\, B$ là hai số thực dương, ta có: $$ A(3x+y+2z)+B(-x+2y+4z)\ge 3A+5B$$ $$\Leftrightarrow (3A-B)x+(A+2B)y+(2A+4B)z\geq 3A+5B. $$ Nếu $$\left\{ \begin{array}{l}&3A-B=7 & \\ &A+2B=5 & \\ &2A+4B=10&\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}&A=\dfrac{19}{7} & \\ &B=\frac{8}{7} &\end{array} \right. $$ thì bất đẳng thức trên có thể viết dưới dạng $ 7x+5y+10z\ge \dfrac{97}{7}.$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $7x+5y+10z$ là $\dfrac{97}{7}.$