Bài toán 3.[T2-MEMO, 2017] Xác định hằng số thực C nhỏ nhất có thể sao cho bất đẳng thức |x^3+y^3+z^3+1|\le C|x^5+y^5+z^5+1| luôn đúng với mọi số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z=-1. |
Lời giải
Xét bất đẳng thức |x^3+y^3+z^3+1|\le C|x^5+y^5+z^5+1|\tag{1} Cách 1. Thay 1 bởi -(x+y+z)^3 và -(x+y+z)^5 vào vế trái và vế phải của (1) ta có |x^3+y^3+z^3-(x+y+z)^3|\le C|x^5+y^5+z^5-(x+y+z)^5|\tag{2} Nhận xét rằng với z=-x thì \mbox{VT}(2)=\mbox{VP}(2)=0 nên (2) có nhân tử là x+z.
Tương tự (x+y), (y+z) cũng là các nhân tử. Từ đó suy ra |3(x+y)(x+z)(y+z)|\leq C\mid 5(x+y)(x+z)(y+z)\left(x^2+y^2+z^2+x y+x z+y z\right). Do đó với (x+y)(x+z)(y+z)=0 thì BĐT sẽ trở thành đẳng thức. Vậy ta có thể giả sử rằng (x+y)(x+z)(y+z)\neq 0 và phải chứng tỏ 3\leq 5C\cdot\left(x^2+y^2+z^2+x y+x z+y z\right).\tag{3} Vì \left|x^2+y^2+z^2+x y+x z+yz\right|=x^2+y^2+z^2+x y+x z+yz nên \begin{eqnarray*} (3)&\Leftrightarrow&\dfrac{3}{5C}\leq x^2+y^2+z^2+x y+x z+y z\\ &\Leftrightarrow&\dfrac{6}{5C}\leq x^2+y^2+z^2+(x+y+z)^2\\ &\Leftrightarrow&\dfrac{6}{5C}-1\leq x^2+y^2+z^2. \end{eqnarray*} Theo BĐT Bunyakowsky ta có x^2+y^2+z^2\geq\dfrac{(x+y+z)^2}{3}=\dfrac{1}{3}. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=-\dfrac{1}{3}. Do đó hằng số C cần tìm sẽ thỏa mãn \dfrac{6}{5C}-1\leq\dfrac{1}{3}\,\mbox{hay}\, C\geq\dfrac{9}{10}. Suy ra hằng số C nhỏ nhất cần tìm là C=\dfrac{9}{10} và bất đẳng thức đã cho trở thành đẳng thức khi (x+y)(x+z)(y+z)=0 hoặc x=y=z=-\dfrac{1}{3}.
Cách 2. Thay -1-x-y vào hai vế của (1) và biến đổi ta có |3(x+1)(y+1)(x+y)|\leq 5C|(x+1)(y+1)(x+y)|\left(x^2+x y+y^2+1+x+y\right).\tag{4} Nếu x=-1, y=-1 hoặc x=-y thì cả hai vế của (4) bằng 0. Trái lại, ta có 3\leq 5C\left(x^2+x y+y^2+1+x+y\right).\tag{5} Vì x^2+x y+y^2+1+x+y=\left(x+\dfrac{y}{2}+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(y+\dfrac{1}{3}\right)^2+\dfrac{2}{3}\ge \dfrac{2}{3} nên \mbox{VP}(5) có giá trị nhỏ nhất là 5C\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{10C}{3}. Do đó, hằng số C cần tìm phải thỏa mãn 3\le \dfrac{10C}{3} hay C\ge \dfrac{9}{10}.
0 nhận xét:
Đăng nhận xét