Bài toán 3.[T2-MEMO, 2017] Xác định hằng số thực $C$ nhỏ nhất có thể sao cho bất đẳng thức \[|x^3+y^3+z^3+1|\le C|x^5+y^5+z^5+1|\] luôn đúng với mọi số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=-1$.

Bài toán 3.[T2-MEMO, 2017] Xác định hằng số thực $C$ nhỏ nhất có thể sao cho bất đẳng thức \[|x^3+y^3+z^3+1|\le C|x^5+y^5+z^5+1|\] luôn đúng với mọi số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=-1$.

Lời giải

Xét bất đẳng thức \[|x^3+y^3+z^3+1|\le C|x^5+y^5+z^5+1|\tag{1} \] Cách 1. Thay $1$ bởi $-(x+y+z)^3$ và $-(x+y+z)^5$ vào vế trái và vế phải của $(1)$ ta có \[|x^3+y^3+z^3-(x+y+z)^3|\le C|x^5+y^5+z^5-(x+y+z)^5|\tag{2} \] Nhận xét rằng với $z=-x$ thì $\mbox{VT}(2)=\mbox{VP}(2)=0$ nên $(2)$ có nhân tử là $x+z$.
Tương tự $(x+y)$, $(y+z)$ cũng là các nhân tử. Từ đó suy ra \[|3(x+y)(x+z)(y+z)|\leq C\mid 5(x+y)(x+z)(y+z)\left(x^2+y^2+z^2+x y+x z+y z\right).\] Do đó với $(x+y)(x+z)(y+z)=0$ thì BĐT sẽ trở thành đẳng thức. Vậy ta có thể giả sử rằng $(x+y)(x+z)(y+z)\neq 0$ và phải chứng tỏ \[3\leq 5C\cdot\left(x^2+y^2+z^2+x y+x z+y z\right).\tag{3}\] Vì $\left|x^2+y^2+z^2+x y+x z+yz\right|=x^2+y^2+z^2+x y+x z+yz$ nên \begin{eqnarray*} (3)&\Leftrightarrow&\dfrac{3}{5C}\leq x^2+y^2+z^2+x y+x z+y z\\ &\Leftrightarrow&\dfrac{6}{5C}\leq x^2+y^2+z^2+(x+y+z)^2\\ &\Leftrightarrow&\dfrac{6}{5C}-1\leq x^2+y^2+z^2. \end{eqnarray*} Theo BĐT Bunyakowsky ta có \[x^2+y^2+z^2\geq\dfrac{(x+y+z)^2}{3}=\dfrac{1}{3}.\] Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=-\dfrac{1}{3}$. Do đó hằng số $C$ cần tìm sẽ thỏa mãn \[\dfrac{6}{5C}-1\leq\dfrac{1}{3}\,\mbox{hay}\, C\geq\dfrac{9}{10}. \] Suy ra hằng số $C$ nhỏ nhất cần tìm là $C=\dfrac{9}{10}$ và bất đẳng thức đã cho trở thành đẳng thức khi $(x+y)(x+z)(y+z)=0$ hoặc $x=y=z=-\dfrac{1}{3}$.
Cách 2. Thay $-1-x-y$ vào hai vế của $(1)$ và biến đổi ta có \[|3(x+1)(y+1)(x+y)|\leq 5C|(x+1)(y+1)(x+y)|\left(x^2+x y+y^2+1+x+y\right).\tag{4} \] Nếu $x=-1$, $y=-1$ hoặc $x=-y$ thì cả hai vế của $(4)$ bằng $0$. Trái lại, ta có \[3\leq 5C\left(x^2+x y+y^2+1+x+y\right).\tag{5} \] Vì \[x^2+x y+y^2+1+x+y=\left(x+\dfrac{y}{2}+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(y+\dfrac{1}{3}\right)^2+\dfrac{2}{3}\ge \dfrac{2}{3}\] nên $\mbox{VP}(5)$ có giá trị nhỏ nhất là $5C\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{10C}{3}$. Do đó, hằng số $C$ cần tìm phải thỏa mãn $3\le \dfrac{10C}{3}$ hay $C\ge \dfrac{9}{10}$.