Bài toán 22. Cho dãy $\left(a_n\right)$ được xác định bởi $a_1=a_2=97$ và $$a_{n+2}=a_{n+1}a_n+\sqrt{\left(a_{n+1}^2-1\right)\left({a_n}^2-1\right)}, \forall n\in \mathbb{N}^*.$$ Chứng minh rằng $2+\sqrt{2+2a_n}$ là số chính phương với mọi số nguyên dương $n$.

Bài toán 22. Cho dãy $\left(a_n\right)$ được xác định bởi $a_1=a_2=97$ và $$a_{n+2}=a_{n+1}a_n+\sqrt{\left(a_{n+1}^2-1\right)\left({a_n}^2-1\right)}, \forall n\in \mathbb{N}^*.$$ Chứng minh rằng $2+\sqrt{2+2a_n}$ là số chính phương với mọi số nguyên dương $n$.

Lời giải

Dễ thấy dãy $\left(a_n\right)$ tăng ngặt. Đặt $a_1=a_2=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{1}{x}\right)$ với $x=\left(7+4\sqrt{3}\right)^2$, khi đó bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được $$a_n=\dfrac{1}{2}\left(x^{F_{n}}+\dfrac{1}{x^{F_{n}}}\right)$$ với mọi $n$ nguyên dương, trong đó $F_n$ là số hạng thứ $n$ của dãy Fibonacci (dãy được xác định bởi $F_1=1$, $F_2=1$, $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$). Từ đây, ta có $$\begin{eqnarray*} 2+\sqrt{2+2a_n}&=&2+\sqrt{2+x^{F_{n}}+\dfrac{1}{x^{F_{n}}}}=\left(\sqrt{x}^{F_{n}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}^{F_{n}}}\right)^2\\ &=&\left[\left(7+4\sqrt{3}\right)^{F_n}+\left(7-4\sqrt{3}\right)^{F_n}\right]^2. \end{eqnarray*}$$ Vì $\left(7+4\sqrt{3}\right)^{F_n}+\left(7-4\sqrt{3}\right)^{F_n}$ là số nguyên với mọi số nguyên dương $n$ nên $2+\sqrt{2+2a_n}$ là số chính phương với mọi số nguyên dương $n$. Ta có điều phải chứng minh.