Bài toán 20.[Putnam 1988] Chứng minh rằng với mọi số thực $\alpha$, phương trình \[ x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2= x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4 \] có một nghiệm $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ mà $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$ là các số nguyên đều lớn hơn $\alpha$.

Bài toán 20.[Putnam 1988] Chứng minh rằng với mọi số thực $\alpha$, phương trình \[ x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2= x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4 \] có một nghiệm $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ mà $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$ là các số nguyên đều lớn hơn $\alpha$.

Lời giải

Chú ý rằng phương trình có một nghiệm tầm thường là $(1;1;1;1)$. Đây chính là phần tử (nghiệm) sinh ra các nghiệm khác của phương trình. Chúng ta sẽ tìm một dạng nghiệm khác theo các biến khác với $x_1$ để giá trị mới của $x_1$ vẫn thỏa mãn phương trình. Để làm được điều này ta tách các biến và viết phương trình đã cho thành dạng bậc hai theo $x_1$: \[ x_1^2 -(x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4+x_3x_4)x_1 +x_3^2+x_4^2-x_2x_3x_4=0. \tag{1} \] Khi đó nếu nghiệm của $(1)$ (đối với $x_1$) là $r_1$, $r_2$ thì theo định lý Viète ta có \[ r_1+r_2=x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4. \tag{2} \] Giả sử $(x_1,x_2,x_3,x_4)= (r_1, s_1, t_1, u_1)$ là một nghiệm của phương trình đã cho. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử $r_1 \le s_1 \le t_1 \le u_1$. Do $(2)$ nên \[ (x_1', x_2, x_3, x_4) = (s_1t_1+s_1u_1+t_1u_1-r_1, s_1, t_1, u_1) \] cũng là nghiệm của phương trình.
Chú ý rằng \[ x_1'=s_1t_1+s_1u_1+t_1u_1-r_1 \ge u_1 \ge t_1 \ge s_1 \ge r_1 = x_1. \] Như vậy giá trị mới $x_1'$ lớn hơn giá trị ban đầu $x_1$. Lặp lại quá trình này cho đến khi ta được giá trị mới lớn hơn $\alpha$ và áp dụng quá trình trên cho các biến $x_2$, $x_3$, $x_4$ ta sẽ luôn tìm được các giá trị mới, các giá trị này tiến tới $+\infty$ và do đó sẽ có các giá trị $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$ thỏa mãn bài toán, lớn hơn $\alpha$.

Lời giải

trong bài toán trên đã sử dụng phương pháp \lq\lq bước nhảy Viète<>\rq\rq, một phương pháp thường được dùng trong các bài toán số học liên quan đến phương trình Diophant.