Bài toán 19.[Canadian Mathematical Olympiad 1983] Tìm tất cả các số nguyên dương $w$, $x$, $y$ và $z$ sao cho $w!=x!+y!+z!$.

Bài toán 19.[Canadian Mathematical Olympiad 1983] Tìm tất cả các số nguyên dương $w$, $x$, $y$ và $z$ sao cho $w!=x!+y!+z!$.

Lời giải

Do tính đối xứng nên ta có thể giả thiết $x\le y \le z\le w$.
Nếu $y > x$ thì $(x+1)!$ chia hết $y!$, $z!$ và $w!$, vì vậy $(x+1)!$ chia hết $x!$, điều này là vô lý.
Vì vậy ta có $x=y$. Bây giờ ta xét hai trường hợp:

• TH1: $y < z$. Trong trường hợp này thì $(y+1)!$ chia hết $z!$ và $w!$, vì vậy nó phải chia hết $x!+y!=2y!$. Điều này kéo theo $y+1$ chia hết $2$, và vì vậy $y=1$. Do vậy $w!=2+z!$.
  Từ đây suy ra $w > z$, và từ $z!$ chia hết $w!$ nên $z!$ chia hết $2$.
  Kết hợp với $z > y=1$ suy ra $z=2$ và $w!=4$: điều này là không thể.
  Như vậy trong trường hợp này bài toán không có nghiệm.
• TH2: $y=z$. Khi đó ta có $w!=3x!$. Vì vậy $w > x$ và do đó $(x+1)! \big| w!=3x! \Rightarrow (x+1) \big| 3$.
  Do $x\ge 1$ nên $x=2$, từ đó ta có nghiệm của bài toán là $x=y=z=2$, $w=3$.

Kết luận: Bài toán có nghiệm duy nhất $(x, y, z, w)= (2, 2, 2, 3)$. Bài toán này có thể giải theo cách khác như sau:
Rõ ràng $x, y, z < w \Rightarrow x!, y!, z! \le (w-1)!$. Vì vậy ta có $w!= x!+y!+z! \le 3 (w-1)! \Rightarrow w \le 3$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=w-1$.
Nếu $w\le 2$ thì ta có $x!+y!+z! \ge 3 > 2! \ge w!$: vô lý.
Vậy $w=3$ và ta có $x=y=z=2$: thỏa mãn bài toán.