Bài toán 13.[Pi in the Sky, 12.2005] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$A=\dfrac{1}{m+n+1}-\dfrac{1}{(m+1)(n+1)},$$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương.

Bài toán 13.[Pi in the Sky, 12.2005] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$A=\dfrac{1}{m+n+1}-\dfrac{1}{(m+1)(n+1)},$$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương.

Lời giải

Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có $(m+1)(n+1) \le \dfrac{(m+n+2)^2}{4}$.
Suy ra $\dfrac{1}{(m+1)(n+1)}\ge \dfrac{4}{(m+n+2)^2}$.
Do đó $$ A=A_{m,n}=\dfrac{1}{m+n+1}- \dfrac{1}{(m+1)(n+1)}\le \dfrac{1}{m+n+1} - \dfrac{4}{(m+n+2)^2}.$$ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $m=n$.
Đặt $k=m+n+2$. Khi đó, có thể kiểm tra rằng $f(k)=\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{4}{k^2}$ là hàm số giảm với $k \ge 6$, hay với $m+n\ge 4$. Chú ý rằng $$A_{1,1}=A_{1,2}=A_{2,1}=\dfrac{1}{12}; A_{3,1}=A_{1,3}=\dfrac{3}{40}; A_{2,2}=\dfrac{4}{45}.$$ Suy ra $A_{m,n}\le \dfrac{4}{45}$. Vậy $\displaystyle \max\limits_{m,n \in \mathbb{N}^*}A_{m,n}=\dfrac{4}{45}$.