Bài toán 13.[Pi in the Sky, 12.2005] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A=\dfrac{1}{m+n+1}-\dfrac{1}{(m+1)(n+1)}, trong đó m và n là các số nguyên dương. |
Lời giải
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có (m+1)(n+1) \le \dfrac{(m+n+2)^2}{4}.
Suy ra \dfrac{1}{(m+1)(n+1)}\ge \dfrac{4}{(m+n+2)^2}.
Do đó A=A_{m,n}=\dfrac{1}{m+n+1}- \dfrac{1}{(m+1)(n+1)}\le \dfrac{1}{m+n+1} - \dfrac{4}{(m+n+2)^2}. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m=n.
Đặt k=m+n+2. Khi đó, có thể kiểm tra rằng f(k)=\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{4}{k^2} là hàm số giảm với k \ge 6, hay với m+n\ge 4. Chú ý rằng A_{1,1}=A_{1,2}=A_{2,1}=\dfrac{1}{12}; A_{3,1}=A_{1,3}=\dfrac{3}{40}; A_{2,2}=\dfrac{4}{45}. Suy ra A_{m,n}\le \dfrac{4}{45}. Vậy \displaystyle \max\limits_{m,n \in \mathbb{N}^*}A_{m,n}=\dfrac{4}{45}.
0 nhận xét:
Đăng nhận xét