Bài toán 31.[IMC 2015, Day 2, Problem 7] Tính: $$\lim_{A\to+\infty}\frac{1}{A}\int_{1}^{A} A^{\frac{1}{x}} \,\mathrm{d}x.$$ (Đề xuất bởi Jan Sustek, Đại học Ostrava) |
Lời giải
Cách 1: Chúng ta chứng minh rằng: $$\lim_{A\to+\infty} \frac{1}{A}\int_{1}^{A} A^{\frac{1}{x}}\,\mathrm{d}x=1$$ Với $A=1$, hàm lấy tích phân của chúng ta sẽ lớn hơn $1$. Khi đó, $$\frac{1}{a} \int_{1}^{A} A^{\frac{1}{x}}\,\mathrm{d}x > \frac{1}{A}\int_{1}^{A} 1 \,\mathrm{d}x=\frac{1}{A}(A-1)=1-\frac{1}{A}$$ Để có thể tìm được một chặn trên chặt, chúng ta cố định hai số thực, $\delta > 0$ và $K > 0$, và chia khoảng thành $3$ phần tại các điểm $1+\delta$ và $K \log A$. Để ý rằng với $A$ đủ lớn (ví dụ, $A > A_{0}(\delta, K)$ với một số $A_{0}(\delta, K) > 1$ nào đó), chúng ta có $1+\delta < K\log A < A$. Với $A > 1$, hàm lấy tích phân của chúng ta đang giảm, nên chúng ta có thể ước lượng nó bằng những giá trị của nó tại những điểm biên của khoảng: \begin{eqnarray*} \frac{1}{A} \int_{1}^{A} A^{\frac{1}{x}}\,\mathrm{d}x &=&\frac{1}{A}\left(\int_{1}^{1+\delta}A^{\frac{1}{x}}\,\mathrm{d}x+\int_{1+\delta}^{K \log A}A^{\frac{1}{x}}\,\mathrm{d}x+\int_{K \log A}^{A}A^{\frac{1}{x}}\,\mathrm{d}x\right)\\ & < &\frac{1}{A}\left(\delta A+(K \log A-1-\delta) A^{\frac{1}{1+\delta}}+(A-K \log A) A^{\frac{1}{\log A}}\right) \\ & < &\frac{1}{A}\left(\delta A+K A^{\frac{1}{1+\delta}} \log A+A A^{\frac{1}{\log A}}\right)\\ &=&\delta+K A^{-\frac{\delta}{1+\delta}} \log A+\mathrm e^{\frac{1}{R}}. \end{eqnarray*} Vì vậy, với $A > A_{0}(\delta, K)$, chúng ta có: $$1-\frac{1}{A} < \frac{1}{A} \int_{1}^{A} A^{\frac{1}{x}} \,\mathrm{d}x < \delta+K A^{-\frac{\delta}{1+\delta}} \log A+\mathrm e^{\frac{1}{K}}.$$ Lấy giới hạn $A\rightarrow+\infty$, chúng ta có: $$1 \leqslant\lim_{A\rightarrow+\infty}\inf\frac{1}{A}\int_{1}^{A} A^{\frac{1}{x}}\,\mathrm{d}x\leqslant\lim_{A\rightarrow+\infty} \sup\frac{1}{A}\int_{1}^{A} A^{\frac{1}{x}}\,\mathrm{d}x\leqslant\delta+\mathrm e^{\frac{1}{K}}.$$ Bây giờ, từ $\delta\to +0$ và $K\to\infty$, chúng ta có: $$1 \leqslant\lim_{A\to+\infty}\inf\frac{1}{A}\int_{1}^{A} A^{\frac{1}{x}}\,\mathrm{d}x \leqslant\lim_{A\to+\infty}\sup\frac{1}{A}\int_{1}^{A} A^{\frac{1}{x}}\,\mathrm{d}x \leqslant 1.$$ Khi đó, $$\lim_{A \rightarrow+\infty}\inf\frac{1}{A}\int_{1}^{A} A^{\frac{1}{x}}\,\mathrm{d}x=\lim_{A \rightarrow+\infty} \sup \frac{1}{A}\int_{1}^{A} A^{\frac{1}{x}}\,\mathrm{d}x=1$$ và chúng ta kết luận được $$\lim_{A\rightarrow+\infty}\frac{1}{A}\int_{1}^{A} A^{\frac{1}{x}}\,\mathrm{d}x=1.$$ Cách 2: Một phương án tiếp cận khác khá hữu ích cho bài toán này chính là nguyên tắc L'Hospital. Có nhiều cách giải sử dụng nguyên tắc này, tác giả sẽ giới thiệu cách sử dụng đơn giản và trực quan nhất, bao gồm các phép biến đổi thuần túy. Chúng ta có: \begin{eqnarray*} \lim_{A\rightarrow\infty}\dfrac{1}{A}\displaystyle\int\limits_{1}^{A} A^{\frac{1}{x}}\,\mathrm{d}x &=&\lim_{A \rightarrow \infty} A^{\frac{1}{A}}+\int_{1}^{A}\frac{A^{\frac{1}{x}-1}}{x}\,\mathrm{d}x\\ &=&1+\lim_{A\rightarrow\infty}\frac{1}{A}\int_{1}^{A} \frac{A^{\frac{1}{x}}}{x}\,\mathrm{d}x\\ &=&1+\lim_{A\rightarrow \infty}\frac{A^{\frac{1}{A}}}{A}+\int_{1}^{A}\frac{A^{\frac{1}{x}-1}}{x^{2}}\,\mathrm{d}x\\ &=&1+\lim_{A\rightarrow \infty}\frac{1}{A}\int_{1}^{A} \frac{A^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}\,\mathrm{d}x\\ &=&1+\lim_{A\rightarrow\infty}\frac{1}{A}\cdot\frac{A-A^{\frac{1}{A}}}{\ln A}\\ &=&1. \end{eqnarray*} Cách 3: Đặt $f(x)=A^{\frac{1}{x}}$, chúng ta có, với mỗi số nguyên dương $n$: $$f(n+1) < \int_{n}^{n+1} f(x)\,\mathrm{d}x < f(n).$$ Khi đó, $$\dfrac{\sum\limits_{i=2}^{[A]} f(i)}{[A]+1} < \frac{1}{[A]+1}\int_{1}^{[A]} A^{\frac{1}{x}}\,\mathrm{d}x < \frac{1}{A} \int_{1}^{A} A^{\frac{1}{x}}\,\mathrm{d}x < \frac{1}{[A]} \int_{1}^{[A]+1} A^{\frac{1}{x}}\,\mathrm{d}x < \dfrac{\sum\limits_{i=1}^{[A]} f(i)}{[A]}.$$ Áp dụng Định lý kẹp Shtolz - Chezaro, chúng ta có: $$\lim_{A\to+\infty}\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{[A]} f(i)}{[A]}=\lim_{A\to+\infty}\frac{f\left([A]+1\right)}{[A+1]-[A]}=1$$ và $$\lim_{A\to+\infty}\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{[A]} f(i)}{[A]}=\lim_{A\to+\infty}\dfrac{f\left([A]+1\right)}{[A+1]-[A]}=1.$$ Theo nguyên lý kẹp, chúng ta có: $$\lim_{A\to+\infty}\frac{1}{A}\int_{1}^{A} A^{\frac{1}{x}}\,\mathrm{d}x=1.$$
0 nhận xét:
Đăng nhận xét