@Câu 1. [id261] (SỞ LÀO CAI 2019) Biết số phức $z$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: $\left| z-3-4i \right|=\sqrt{5}$ và biểu thức $M={{\left| z+2 \right|}^{2}}-{{\left| z-i \right|}^{2}}$ đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức $z+i$.

@Câu 1. [id261] (SỞ LÀO CAI 2019) Biết số phức $z$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: $\left| z-3-4i \right|=\sqrt{5}$ và biểu thức $M={{\left| z+2 \right|}^{2}}-{{\left| z-i \right|}^{2}}$ đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức $z+i$.

A. $\left| z+i \right|=\sqrt{61}$.
B. $\left| z+i \right|=5\sqrt{2}$.
C. $\left| z+i \right|=3\sqrt{5}$.
D. $\left| z+i \right|=2\sqrt{41}$.
Lời giải
Tác giả:Lê Văn Quý ; Fb:Lê Văn Quý
Chọn A
Gọi $z=x+yi$ với $x,\,y\in \mathbb{R}$.
Ta có $\left| z-3-4i \right|=\sqrt{5}$ $\left| x+yi-3-4i \right|=\sqrt{5}$
 ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=5$. (1)
Lại có $M={{\left| z+2 \right|}^{2}}-{{\left| z-i \right|}^{2}}$ $={{\left| x+yi+2 \right|}^{2}}-{{\left| x+yi-i \right|}^{2}}$
$={{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}-\left[ {{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}} \right]$ $=4x+2y+3$.
Áp dụng bất đẳng thức: $am+bn\le \sqrt{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{m}^{2}}+{{n}^{2}} \right)}$ ta được
$4x+2y+3=4\left( x-3 \right)+2\left( y-4 \right)+23$ $\le \sqrt{\left( 16+4 \right)\left[ {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}} \right]}+23=33$ (do (1))
 $M\le 33$.
Dấu đẳng thức xảy ra  $\left\{ \begin{align} & 4x+2y+3=33 \\ & \dfrac{x-3}{4}=\dfrac{y-4}{2} \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 2x+y=15 \\ & x-2y=-5 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=5 \\ & y=5 \\ \end{align} \right.$  $z=5+5i$.
Vậy $maxM=33$ khi $z=5+5i$.
Từ đó ta tính được $\left| z+i \right|=\left| 5+6i \right|=\sqrt{61}$.