Lời giải
Giả sử h là hàm số thỏa bài toán, khi đó theo điều kiện ii) thì h(x+n)=h(x) với mọi n\in\mathbb{Z} và x\in\mathbb{R}.Do đó từ i) ta có h(n)=0 với mọi n\in\mathbb{Z}.
Lấy y=2 thay vào iii) ta được 3^{x+2}h(x)=3^{x+1}h(x)+3^{2x}h(2x)\Rightarrow 6h(x)=3^xh(2x), \forall x\in\mathbb{R}.\tag{1} Lấy y=4 ta được 76h(x)=3^{3x}h(4x), \forall x\in\mathbb{R} .\tag{2} Kết hợp với (1) ta được 76h(x)=\dfrac{38}{3}\cdot 6h(x)=\dfrac{38}{3}\cdot3^xh(2x)=\dfrac{19}{9}\cdot3^x\cdot 6h(2x)=\dfrac{19}{9}\cdot3^{3x}h(4x). Kết hợp với (2) ta được h(4x)=0, với mọi x\in\mathbb{R} hay h(x)=0, với mọi x\in\mathbb{R}.
Thử lại, hàm h(x)=0 thỏa yêu cầu bài.
0 nhận xét:
Đăng nhận xét