Processing math: 3%

Thư viện tra cứu id trong tài liệu

Hướng dẫn xem lời giải theo mã id trong tài liệu

Chủ Nhật, 4 tháng 10, 2020

[tc95][T11/510 Toán học & tuổi trẻ số 510, tháng 12 năm 2019] Tìm tất cả hàm số h: \mathbb{R}\to \mathbb{R} thỏa mãn đồng thời các điều kiện:

  1. h(2019)=0;
  2. h(x+1)=h(x), với mọi x\in\mathbb{R};
  3. 3^{x+y}\left[h(x)h(y)+h(x+y) \right]=3^x(y+1)h(x)+3^y(x+1)h(y)+3^{xy}h(xy) với mọi x,y\in\mathbb{R}.

Lời giải

Giả sử h là hàm số thỏa bài toán, khi đó theo điều kiện ii) thì h(x+n)=h(x) với mọi n\in\mathbb{Z}x\in\mathbb{R}.
Do đó từ i) ta có h(n)=0 với mọi n\in\mathbb{Z}.
Lấy y=2 thay vào iii) ta được 3^{x+2}h(x)=3^{x+1}h(x)+3^{2x}h(2x)\Rightarrow 6h(x)=3^xh(2x), \forall x\in\mathbb{R}.\tag{1} Lấy y=4 ta được 76h(x)=3^{3x}h(4x), \forall x\in\mathbb{R} .\tag{2} Kết hợp với (1) ta được 76h(x)=\dfrac{38}{3}\cdot 6h(x)=\dfrac{38}{3}\cdot3^xh(2x)=\dfrac{19}{9}\cdot3^x\cdot 6h(2x)=\dfrac{19}{9}\cdot3^{3x}h(4x). Kết hợp với (2) ta được h(4x)=0, với mọi x\in\mathbb{R} hay h(x)=0, với mọi x\in\mathbb{R}.
Thử lại, hàm h(x)=0 thỏa yêu cầu bài.

Bài viết cùng chủ đề:

0 nhận xét:

Đăng nhận xét