[tc95][T11/510 Toán học & tuổi trẻ số 510, tháng 12 năm 2019] Tìm tất cả hàm số $h: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện: $h(2019)=0$; $h(x+1)=h(x)$, với mọi $x\in\mathbb{R}$; $3^{x+y}\left[h(x)h(y)+h(x+y) \right]=3^x(y+1)h(x)+3^y(x+1)h(y)+3^{xy}h(xy)$ với mọi $x,y\in\mathbb{R}.$

Lời giải

Giả sử $h$ là hàm số thỏa bài toán, khi đó theo điều kiện $ii)$ thì $h(x+n)=h(x)$ với mọi $n\in\mathbb{Z}$ và $x\in\mathbb{R}$.
Do đó từ $i)$ ta có $h(n)=0$ với mọi $n\in\mathbb{Z}$.
Lấy $y=2$ thay vào $iii)$ ta được \[3^{x+2}h(x)=3^{x+1}h(x)+3^{2x}h(2x)\Rightarrow 6h(x)=3^xh(2x), \forall x\in\mathbb{R}.\tag{1}\] Lấy $y=4$ ta được \[76h(x)=3^{3x}h(4x), \forall x\in\mathbb{R} .\tag{2}\] Kết hợp với $(1)$ ta được \[76h(x)=\dfrac{38}{3}\cdot 6h(x)=\dfrac{38}{3}\cdot3^xh(2x)=\dfrac{19}{9}\cdot3^x\cdot 6h(2x)=\dfrac{19}{9}\cdot3^{3x}h(4x).\] Kết hợp với $(2)$ ta được $h(4x)=0$, với mọi $x\in\mathbb{R}$ hay $h(x)=0$, với mọi $x\in\mathbb{R}$.
Thử lại, hàm $h(x)=0$ thỏa yêu cầu bài.