Loading [MathJax]/extensions/TeX/mathchoice.js

Thư viện tra cứu id trong tài liệu

Hướng dẫn xem lời giải theo mã id trong tài liệu

Chủ Nhật, 4 tháng 10, 2020

[tc96][T12/510 Toán học & tuổi trẻ số 510, tháng 12 năm 2019] Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (\Omega). Các điểm E, F lần lượt nằm trên các cạnh CA, AB sao cho tứ giác BCEF nội tiếp. Trung trực của đoạn thẳng CE lần lượt cắt BC, EF tại các điểm N, R. Trung trực của đoạn BF lần lượt cắt BC, EF tại các điểm M, Q. K là điểm đối xứng với E qua RM. L là điểm đối xứng với F qua QN. Gọi giao điểm của RKQBS; giao điểm của QLRCT. Chứng minh rằng:

  1. Bốn điểm Q, R, S, T cùng nằm trên một đường tròn, kí hiệu là (C).
  2. Hai đường tròn (C)(\Omega) tiếp xúc nhau.

Lời giải

  1. Dễ thấy: \begin{align*} (MN,MQ)&\equiv (BC,BF)+(BF,MQ)\\&\equiv(EC,EF)+\dfrac{\pi}{2}\pmod{\pi}\\ &\equiv(EC,RQ)+(RN,EC)\\&\equiv(RN,NQ)\pmod{\pi}. \end{align*}Do đó M, N, Q, R cùng thuộc một đường tròn.
    Vậy \begin{align*} (QT,QS)&\equiv (QT,QF)+(QF,QS)\\&\equiv 2(QN,QF)+2(QF,QM)\pmod{\pi}\\&\equiv 2(QN,QM)\equiv 2(RN,RM)\\&\equiv 2(RN, RE)+2(RE,RM)\pmod{\pi}\\&\equiv (RC,RE)+(RE,RK)\\&\equiv (RC,RK)\equiv (RT,RS)\pmod{\pi}. \end{align*} Do đó Q, R, S, T cùng nằm trên một đường tròn.
  2. Gọi W là giao điểm thứ hai của các đường tròn (ABC), (AEF). Khi đó: \begin{align*} (NE,NB)&\equiv (NE,NC)\equiv 2(NE,NR)\\&\equiv 2\left((NR,CA)+(CA,CB) \right)\pmod{\pi}\\&\equiv \left(\dfrac{\pi}{2} +(CA,CB)\right)\equiv \pi+2(CA,CB)\\&\equiv (CA,CB)+(CA,CB)\pmod{\pi}\\&\equiv (AC,AB)+(AB,CB)+(CA,CB)\\&\equiv (AE,AF)+(FB,CB)+(WA,WB)\\&\equiv (WE,WF)+(FE,AE)+(WA,WB)\pmod{\pi}\\&\equiv(WE,WF)+(FW, AW)+(WA,WB)\\&\equiv (WE,WB)\pmod{\pi}. \end{align*}Do đó N,E,B,W cùng thuộc một đường tròn.(1)
    Dễ thấy: \begin{align*} (QB,QE)&\equiv (QB,QF)\equiv 2(QM,QF)\\ &\equiv 2(QM,QR)\equiv 2(NM,NR)\pmod{\pi}\\ &\equiv 2\left( (NM,NE)+(NE,NR)\right)\\&\equiv 2(NM,NE)+2(NE,NR)\pmod{\pi}\\&\equiv (NM,NE)+(NM,NE)+2(NE,NC)\\&\equiv (NM,NE)+(NM,NC)\equiv (NB,NE)\pmod{\pi}. \end{align*}Do đó B, E, N, Q cùng thuộc một đường tròn. (2)
    Từ (1), (2) suy ra B,E,N,Q,W cùng thuộc một đường tròn. (3)
    Tương tự C,F,M,R,W cùng thuộc một đường tròn (4). Dễ thấy M,N theo thứ tự là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác SQR, TQR (5). Từ (3), (4)(5), chý ý rằng MQ\perp AB; NR\perp ACSTRQ là tứ giác, suy ra: \begin{align*} (WQ,WR)&\equiv (WQ,WB)+(WB,WC)+(WC,WR)\pmod{\pi}\\&\equiv (NQ,NB)+(MQ,NR)+(MC,MR)\\&\equiv (NQ,MR)+(MQ,NR)\pmod{\pi}\equiv (NQ,NR)+(MQ,MR)\\ &\equiv \dfrac{\pi}{2}+\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{TQ},\overrightarrow{TR}\right) +\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{SQ}, \overrightarrow{SR}\right) \pmod{\pi}\\ &\equiv \dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{TQ}, \overrightarrow{TR}\right)+\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{TQ}, \overrightarrow{TR}\right) \equiv \left(\overrightarrow{TQ},\overrightarrow{TR} \right)\equiv (TQ,TR)\pmod{\pi}. \end{align*}Kết hợp với phần 1, suy ra W thuộc đường tròn (STRQ). Gọi \Delta là tiếp tuyến với đường tròn (ABC) tai W. Dễ thấy: \begin{align*} (\Delta, WQ)&\equiv (\Delta, WB)+(WB, WQ)\\&\equiv (CW,CB)+(NB,NQ) \pmod{\pi}\\&\equiv (CW,CM)+(NM,NQ)\\&\equiv (RW,RM)+(RM,RQ)\equiv (RW,RQ)\pmod{\pi}. \end{align*}Do đó \Delta tiếp xúc với đường tròn STRQ.
    Tóm lại hai đường tròn (\Omega)(C) tiếp xúc nhau.

Bài viết cùng chủ đề:

0 nhận xét:

Đăng nhận xét