[tc96][T12/510 Toán học & tuổi trẻ số 510, tháng 12 năm 2019] Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(\Omega)$. Các điểm $E,$ $F$ lần lượt nằm trên các cạnh $CA,$ $AB$ sao cho tứ giác $BCEF$ nội tiếp. Trung trực của đoạn thẳng $CE$ lần lượt cắt $BC,$ $EF$ tại các điểm $N,$ $R$. Trung trực của đoạn $BF$ lần lượt cắt $BC,$ $EF$ tại các điểm $M,$ $Q$. $K$ là điểm đối xứng với $E$ qua $RM$. $L$ là điểm đối xứng với $F$ qua $QN$. Gọi giao điểm của $RK$ và $QB$ là $S$; giao điểm của $QL$ và $RC$ là $T$. Chứng minh rằng: Bốn điểm $Q$, $R$, $S$, $T$ cùng nằm trên một đường tròn, kí hiệu là $(C)$. Hai đường tròn $(C)$ và $(\Omega)$ tiếp xúc nhau.

Lời giải

1. Dễ thấy: \begin{align*} (MN,MQ)&\equiv (BC,BF)+(BF,MQ)\\&\equiv(EC,EF)+\dfrac{\pi}{2}\pmod{\pi}\\ &\equiv(EC,RQ)+(RN,EC)\\&\equiv(RN,NQ)\pmod{\pi}. \end{align*}Do đó $M$, $N$, $Q$, $R$ cùng thuộc một đường tròn.
   Vậy \begin{align*} (QT,QS)&\equiv (QT,QF)+(QF,QS)\\&\equiv 2(QN,QF)+2(QF,QM)\pmod{\pi}\\&\equiv 2(QN,QM)\equiv 2(RN,RM)\\&\equiv 2(RN, RE)+2(RE,RM)\pmod{\pi}\\&\equiv (RC,RE)+(RE,RK)\\&\equiv (RC,RK)\equiv (RT,RS)\pmod{\pi}. \end{align*} Do đó $Q$, $R$, $S$, $T$ cùng nằm trên một đường tròn.
   
2. Gọi $W$ là giao điểm thứ hai của các đường tròn $(ABC),$ $(AEF)$. Khi đó: \begin{align*} (NE,NB)&\equiv (NE,NC)\equiv 2(NE,NR)\\&\equiv 2\left((NR,CA)+(CA,CB) \right)\pmod{\pi}\\&\equiv \left(\dfrac{\pi}{2} +(CA,CB)\right)\equiv \pi+2(CA,CB)\\&\equiv (CA,CB)+(CA,CB)\pmod{\pi}\\&\equiv (AC,AB)+(AB,CB)+(CA,CB)\\&\equiv (AE,AF)+(FB,CB)+(WA,WB)\\&\equiv (WE,WF)+(FE,AE)+(WA,WB)\pmod{\pi}\\&\equiv(WE,WF)+(FW, AW)+(WA,WB)\\&\equiv (WE,WB)\pmod{\pi}. \end{align*}Do đó $N,E,B,W$ cùng thuộc một đường tròn.$(1)$
   Dễ thấy: \begin{align*} (QB,QE)&\equiv (QB,QF)\equiv 2(QM,QF)\\ &\equiv 2(QM,QR)\equiv 2(NM,NR)\pmod{\pi}\\ &\equiv 2\left( (NM,NE)+(NE,NR)\right)\\&\equiv 2(NM,NE)+2(NE,NR)\pmod{\pi}\\&\equiv (NM,NE)+(NM,NE)+2(NE,NC)\\&\equiv (NM,NE)+(NM,NC)\equiv (NB,NE)\pmod{\pi}. \end{align*}Do đó $B, E, N, Q$ cùng thuộc một đường tròn. $(2)$
   Từ $(1), (2)$ suy ra $ B,E,N,Q,W$ cùng thuộc một đường tròn. $(3)$
   Tương tự $C,F,M,R,W$ cùng thuộc một đường tròn $(4)$. Dễ thấy $M,N$ theo thứ tự là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $SQR,$ $TQR$ $(5)$. Từ $(3), (4)$ và $(5)$, chý ý rằng $MQ\perp AB$; $NR\perp AC$ và $STRQ$ là tứ giác, suy ra: \begin{align*} (WQ,WR)&\equiv (WQ,WB)+(WB,WC)+(WC,WR)\pmod{\pi}\\&\equiv (NQ,NB)+(MQ,NR)+(MC,MR)\\&\equiv (NQ,MR)+(MQ,NR)\pmod{\pi}\equiv (NQ,NR)+(MQ,MR)\\ &\equiv \dfrac{\pi}{2}+\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{TQ},\overrightarrow{TR}\right) +\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{SQ}, \overrightarrow{SR}\right) \pmod{\pi}\\ &\equiv \dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{TQ}, \overrightarrow{TR}\right)+\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{TQ}, \overrightarrow{TR}\right) \equiv \left(\overrightarrow{TQ},\overrightarrow{TR} \right)\equiv (TQ,TR)\pmod{\pi}. \end{align*}Kết hợp với phần 1, suy ra $W$ thuộc đường tròn $(STRQ)$. Gọi $\Delta$ là tiếp tuyến với đường tròn $(ABC)$ tai $W$. Dễ thấy: \begin{align*} (\Delta, WQ)&\equiv (\Delta, WB)+(WB, WQ)\\&\equiv (CW,CB)+(NB,NQ) \pmod{\pi}\\&\equiv (CW,CM)+(NM,NQ)\\&\equiv (RW,RM)+(RM,RQ)\equiv (RW,RQ)\pmod{\pi}. \end{align*}Do đó $\Delta$ tiếp xúc với đường tròn $STRQ$.
   Tóm lại hai đường tròn $(\Omega)$ và $(C)$ tiếp xúc nhau.