Lời giải
- Dễ thấy:
\begin{align*}
(MN,MQ)&\equiv (BC,BF)+(BF,MQ)\\&\equiv(EC,EF)+\dfrac{\pi}{2}\pmod{\pi}\\
&\equiv(EC,RQ)+(RN,EC)\\&\equiv(RN,NQ)\pmod{\pi}.
\end{align*}Do đó M, N, Q, R cùng thuộc một đường tròn.
Vậy \begin{align*} (QT,QS)&\equiv (QT,QF)+(QF,QS)\\&\equiv 2(QN,QF)+2(QF,QM)\pmod{\pi}\\&\equiv 2(QN,QM)\equiv 2(RN,RM)\\&\equiv 2(RN, RE)+2(RE,RM)\pmod{\pi}\\&\equiv (RC,RE)+(RE,RK)\\&\equiv (RC,RK)\equiv (RT,RS)\pmod{\pi}. \end{align*} Do đó Q, R, S, T cùng nằm trên một đường tròn. - Gọi W là giao điểm thứ hai của các đường tròn (ABC), (AEF). Khi đó:
\begin{align*}
(NE,NB)&\equiv (NE,NC)\equiv 2(NE,NR)\\&\equiv 2\left((NR,CA)+(CA,CB) \right)\pmod{\pi}\\&\equiv \left(\dfrac{\pi}{2} +(CA,CB)\right)\equiv \pi+2(CA,CB)\\&\equiv (CA,CB)+(CA,CB)\pmod{\pi}\\&\equiv (AC,AB)+(AB,CB)+(CA,CB)\\&\equiv (AE,AF)+(FB,CB)+(WA,WB)\\&\equiv (WE,WF)+(FE,AE)+(WA,WB)\pmod{\pi}\\&\equiv(WE,WF)+(FW, AW)+(WA,WB)\\&\equiv (WE,WB)\pmod{\pi}.
\end{align*}Do đó N,E,B,W cùng thuộc một đường tròn.(1)
Dễ thấy: \begin{align*} (QB,QE)&\equiv (QB,QF)\equiv 2(QM,QF)\\ &\equiv 2(QM,QR)\equiv 2(NM,NR)\pmod{\pi}\\ &\equiv 2\left( (NM,NE)+(NE,NR)\right)\\&\equiv 2(NM,NE)+2(NE,NR)\pmod{\pi}\\&\equiv (NM,NE)+(NM,NE)+2(NE,NC)\\&\equiv (NM,NE)+(NM,NC)\equiv (NB,NE)\pmod{\pi}. \end{align*}Do đó B, E, N, Q cùng thuộc một đường tròn. (2)
Từ (1), (2) suy ra B,E,N,Q,W cùng thuộc một đường tròn. (3)
Tương tự C,F,M,R,W cùng thuộc một đường tròn (4). Dễ thấy M,N theo thứ tự là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác SQR, TQR (5). Từ (3), (4) và (5), chý ý rằng MQ\perp AB; NR\perp AC và STRQ là tứ giác, suy ra: \begin{align*} (WQ,WR)&\equiv (WQ,WB)+(WB,WC)+(WC,WR)\pmod{\pi}\\&\equiv (NQ,NB)+(MQ,NR)+(MC,MR)\\&\equiv (NQ,MR)+(MQ,NR)\pmod{\pi}\equiv (NQ,NR)+(MQ,MR)\\ &\equiv \dfrac{\pi}{2}+\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{TQ},\overrightarrow{TR}\right) +\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{SQ}, \overrightarrow{SR}\right) \pmod{\pi}\\ &\equiv \dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{TQ}, \overrightarrow{TR}\right)+\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{TQ}, \overrightarrow{TR}\right) \equiv \left(\overrightarrow{TQ},\overrightarrow{TR} \right)\equiv (TQ,TR)\pmod{\pi}. \end{align*}Kết hợp với phần 1, suy ra W thuộc đường tròn (STRQ). Gọi \Delta là tiếp tuyến với đường tròn (ABC) tai W. Dễ thấy: \begin{align*} (\Delta, WQ)&\equiv (\Delta, WB)+(WB, WQ)\\&\equiv (CW,CB)+(NB,NQ) \pmod{\pi}\\&\equiv (CW,CM)+(NM,NQ)\\&\equiv (RW,RM)+(RM,RQ)\equiv (RW,RQ)\pmod{\pi}. \end{align*}Do đó \Delta tiếp xúc với đường tròn STRQ.
Tóm lại hai đường tròn (\Omega) và (C) tiếp xúc nhau.
0 nhận xét:
Đăng nhận xét