Đề thi học sinh giỏi cấp trường Nội Trú tỉnh Yên Bái 2019-2020

Đề thi học sinh giỏi cấp trường Nội Trú tỉnh Yên Bái

Câu 1. (4 điểm) Cho hàm số $y=\dfrac{2x-1}{x+1}$ có đồ thị là $\left( H \right)$, điểm $A\left( 2;5 \right)$ và đường thẳng $(\Delta ):y=-x+m$ (với m là tham số)
1) Chứng minh $\left( \Delta \right)$ luôn cắt $\left( H \right)$ tại hai điểm phân biệt.
2) Gọi $B,C$ là giao điểm của $\left( \Delta \right)$ và $\left( H \right)$. Chứng minh $AB=AC$ với mọi m. Tìm các giá trị của m để tam giác ABC đều.
Câu 2. (4 điểm)
1) Giải phương trình $\cos x-2\cos 2x=2\sin x.\cos \left( 2x-\dfrac{5\pi }{6} \right)$
2) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align} & {{y}^{3}}+3y=\left( x+5 \right)\sqrt{x+2} \\ & 2{{x}^{2}}+16=3\left( 2{{y}^{2}}+y\sqrt{{{x}^{2}}-2x+4} \right) \\ \end{align} \right.$
Câu 3. (3,0 điểm) Gieo ngẫu nhiên một con xúc sắc cân đối và đồng chất ba lần liên tiếp. Tính xác suất sao cho tích các số xuất hiện ở ba lần gieo là một số không chia hết cho $6$ (mỗi số là số chấm xuất hiện trên mặt con xúc sắc ở mỗi lần gieo).
Câu 4. (3 điểm) Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa độ $Oxy$ , cho tam giác $ABC$ có 3 góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm $I\left( \dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2} \right)$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $IBC$ cắt $AB,\text{ }AC$ lần lượt tại $D,E$ $\left( D\ne B,E\ne C \right)\,.$ Cho phương trình ngoại tiếp tam giác $IBC$ là ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x+y+3=0$ và phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$ là ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-3x-4=0$. Tìm tọa độ điểm $A$ .
Câu 5. (3 điểm) Cho tứ diện $SABC$ có tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và $BC=2a\,,\,AC=a$. Gọi $D$ là điểm đối xứng với $C$ qua trung điểm của $AB$. Gọi $\alpha$ là góc giữa mặt phẳng $(SBD)$ và mặt phẳng $(ABC)$. Biết rằng $\tan \alpha =\sqrt{6}$ và $SA=SB=SD$. Tính thể tích khối tứ diện $SABC$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC$ và $AD$.
Câu 6. (1 điểm) Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm thực
$$m\left( \sqrt{1+{{x}^{2}}}-\sqrt{1-{{x}^{2}}}+2 \right)=2\sqrt{1-{{x}^{4}}}+\sqrt{1+{{x}^{2}}}-\sqrt{1-{{x}^{2}}}$$ .
Câu 7. (2 điểm) Cho các số thực dương $x,\,y,\,z$ thay đổi thỏa mãn điều kiện $x+2y-z\ge 0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=\dfrac{x}{10y+z}+\dfrac{y}{x+y+z}+\dfrac{x+2y}{2x+3y}$$ .

Lời giải

Câu 1.  link
Câu 2.  link1   link2
Câu 3.  link
Câu 4.  link
Câu 5.  link
Câu 6.  link
Câu 7.  link